এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • টইপত্তর  অন্যান্য

  • ধাঁধা - ২

    Arpan
    অন্যান্য | ০৭ জানুয়ারি ২০১০ | ৪০৮২৪♦ বার পঠিত | রেটিং ৫ (১ জন)
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:২৮438184
  • যাগ্গে ঠিকই বলেছো, সুতরাং চলবে :)
    কিন্তু শুধু প্যাটার্ন রেকগশিন করেও উত্তর পাওয়া যায়, তাই জিগাইছিলাম আর কি। কিন্তু তুমি উত্তর দিয়ে দিলে আজ্জো আর ভাববে না।
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৩০438185
  • Only perfect squares are numbers with odd number of factors.
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৩১438186
  • দিলে তো বলে !
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৩৪438187
  • উপ্‌প্‌প্‌প্‌স্‌। শুধু যুক্তি চাওয়ার পোস্টটা খেয়াল করেছিলাম।
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৩৬438188
  • ধ্যাত এটা পুরনো। অনেক আগের। ২n = n টা নতুন।
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৩৯438189
  • না:, ২n = n টাও পুরোনো।

    n+n+...+n = n^2, যদি বা দিকে n-টা n নেওয়া যায়।

    এবারে দুদিকের ডেরিভেটিভ (wrt n) নিলেই হয়ে গেল।
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৪২438190
  • শিবুদারে দুটো নকুলদানা দিলাম। n কি আর চলরাশি? কিন্তু তাও ফ্যালাসিটা ইন্টারেস্টিং তাই সেকেন পেরাইজ।
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৪৪438191
  • x,y,z are positive real numbers. Show that x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) is greater than = 3/2
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৪৬438192
  • n চলরাশি (variable) তো বটেই। কিন্তু ডিসক্রীট। তাই ডেরিভেটিভ ডিফাইনড নয়।
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৪৭438194
  • যাও যাও আর ইয়ে করতে হবে না। ঐ ইনইকোয়ালিটিটা দেখাও দেখি। ভাপা দই প্রাইজ।
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৪৮438196
  • অ্যাল বাংলা করতে গিয়ে ভুল করেছি। হ্যাঁ হ্যাঁ ডিসক্রিট।
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৪৮438195
  • @aka
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৫২438197
  • অভ্যুর এইটা তো AM = HM দিয়ে হয়ে যাবে।
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৫৩438198
  • উপ্‌প্‌স্‌, গ্রেটার অর ইকুয়াল টু।
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৫৫438199
  • করে বলছ, না দেখে? এটা কিন্তু একটু বাঁশ।
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৫৬438200
  • মানে a+b+c=1 বা ঐ জাতীয় কিছু দেওয়া নেই কিন্তু। যাস্ট পজিটিভ রিয়াল।
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৫৮438201

  • LHS =

    (x + y + z) [ 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x)] -3 = (x+y+z)[ s - 3]    , s হোলো ঐ গুবদু ফাংশন-টা।

    এখন,

    (2x +2y +2z)/ 3 হল 3/s এর চেয়ে বড়। হয়ে গেল না?
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০০:৫৯438202
  • x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y)

    >=x/(x+y+z) + y/(x+y+z) + z/(x+y+z)
    =১ >= ৩/২
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০১:০০438203
  • আ: হয় নি।
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০১:১৮438205
  • ডিটেল।


    Let s = 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x).

    LHS = s(x+y+z) -3.

    Let a = x+y, b = y+z, c = z+x.

    Then, as AM >= HM,

    (a+b+c)/3 >= 3/s.
    Hence,

    2(x+y+z)/3 >= 3/s
    s(x+y+z) >= 9/2
    s(x+y+z) - 3 &ge 9/2 -3 = 3/2

    QED
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০১:২০438206
  • xyz = 1 এটা লাগবে, নইলে পার্লুম না।

    ঐ শিবুদা যা করেছে

    (x + y + z) [ 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x)]

    =1/2((x+y) + (y+z) + (z+x))(x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y))

    >=1/2(xY+z)^2

    এবারে ক্ষ+ য় + >=3 ধরলে প্রুভড (য্‌খন xyz=১)

    (স্টেপ জাম্প আছে)
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০১:২৫438207
  • না:, xyz=1 দরকার নেই। আগের পোস্ট পশ্য।
  • aka | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০১:২৯438208
  • হ্যাঁ xyz =১ লাগছে না।
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০২:৫২438209
  • আধ হাঁড়ি দই আজ্জো আর শিবুদাকে আদ্দেক আদ্দেক। সুন্দর হয়েছে!
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০৩:২১438210
  • দরজার লাইনে আর একটা অঙ্ক - (শিবুদার পোস্ট)
    Prove that the number of divisors of positive integer is odd if and only if it is a perfect square.
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ০৩:২৩438211
  • মজাটা এই, ঐ দরজার অঙ্কটা এসেছিল আই এস আইয়ের এ¾ট্রান্স পরীক্ষায়, আর এইটা এসেছিল এম স্ট্যাটের সেকেণ্ড ইয়ারে :)
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ১০:২১438212
  • আরে এটা তো ইজি।


    Let x be a factor of n, which is < root n.

    Then n/x > root n.

    Match x and n/x.

    This way all divisors of n will be paired up. If n is not a perfect square, then no divisor is left. Hence n has even number of divisors.

    If n is perfect square, then root n is left. Hence n has odd number of divisors.
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ১০:৩৬438214
  • p1,...,pm সব মৌলিক সংখ্যা ইত্যাদি
  • Abhyu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ১০:৩৬438213
  • অন্য একটা প্রুফ দি।
    let n = p1^k1....pm^km
    total number of factors (k1+1)...(km+1) is odd iff each of (k1+1) is odd,...,(km+1) is odd
    that is, iff k1 is even, ..., km is even
    that is, iff n is a perfect square.
  • Sibu | ০২ এপ্রিল ২০১০ ১০:৪৩438217
  • প্রাইম ফ্যাক্টর দিয়ে প্রুফটা বেশ ভাল।
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : [email protected] ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। খারাপ-ভাল প্রতিক্রিয়া দিন।